Stuksgewijs

In de analyse, een deelgebied van de wiskunde, is een stuksgewijs gedefinieerde functie een functie waarvan het domein is opgedeeld in een eindig aantal intervallen op elk waarvan een functie gedefinieerd is. De functie wordt dus gedefinieerd door een eindig aantal subfuncties, gedefinieerd op afzonderlijke delen van het domein.

De modulus functie is een voorbeeld van een stuksgewijs gedefinieerde functie:

$${\mbox{abs}}(x)=|x|={\begin{cases}-x,&{\mbox{voor }}x<0\\+x,&{\mbox{voor }}x\geq 0\end{cases}}$$

De modulus functie is opgedeelt in twee subfuncties en is een voorbeeld van een stuksgewijs lineaire functie.

De kleinste-kwadratenmethode benadert het verband tussen een onafhankelijke variabele en de daarbij horende afhankelijke variabele. Er wordt meestal een lineair verband verondersteld en dan is het een vorm van lineaire regressie. Bij stuksgewijze regressieanalyse wordt het domein van de onafhankelijke variabele in intervallen verdeeld en wordt er per interval, stuksgewijs de lineaire regressie toegepast. De gebruikte vorm van lineaire regressie kan goed de kleinste-kwadratenmethode zijn.

Notatie en interpretatie

Grafiek van de modulus functie:⁠$$y=|x|$$

⁠Grafiek van de functie:$$f(x)=\min(1,x^{2})$$ Dit is een voorbeeld van een stuksgewijs gedefinieerde functie. De functie is stuksgewijs differentieerbaar in de subdomeinen: * $(-\infty ,-1]$ * $[-1,+1]$ * $[+1,+\infty )$

Stuksgewijs gedefinieerde functies kunnen worden gedefinieerd door middel van de gebruikelijke functionele notatie. Hierbij bestaat het voorschrift uit twee kolommen, waarbij de eerste kolom bestaat uit subfuncties, en de tweede kolom bestaat uit de bijbehorende subdomeinen. Na elke subfunctie volgt meestal een puntkomma of komma en "voor" of "als".

De subdomeinen bedekken samen het gehele domein, soms is het vereist dat de subdomeinen disjunct zijn. Oftewel, dat de subdomeinen elkaar niet overlappen. Dit is voldoende om een functie "gedefinieerd door gevallen" te laten zijn, maar om de algehele functie "stuksgewijs gedefinieerd" te laten zijn, moeten de subdomeinen doorgaans niet-lege intervallen zijn (sommige subdomeinen kunnen wel eenpuntsverzamelingen of onbegrensde intervallen zijn). Daarnaast is het een gebruikelijk vereiste dat stuksgewijs gedefinieerde functies niet oneindig veel subdomeinen hebben in een begrensde interval. Dit betekent dat functies met begrensde domeinen slechts eindig veel deeldomeinen zullen hebben, terwijl functies met onbegrensde domeinen oneindig veel deeldomeinen kunnen hebben.

Neem bijvoorbeeld de stuksgewijze definitie van de modulus functie: $$|x|={\begin{cases}-x,&{\text{voor }}x<0\\+x,&{\text{voor }}x\geq 0.\end{cases}}$$Voor alle waarden van $x$ kleiner dan nul wordt de eerste subfunctie, $-x$, gebruikt. Deze eerste subfunctie keert het teken van de waarde om, waardoor negatieve getallen positief worden. Voor alle waarden van $x$ groter dan of gelijk aan nul wordt de tweede subfunctie, $+x$, gebruikt. Deze tweede subfunctie resulteert triviaal in dezelfde waarde.

De volgende tabel toont de subfunctie van de modulus functie bij bepaalde waarden van $x$:

$x$	$f(x)$	Gebruikte subfunctie
−3	3	$-x$
−0,1	0,1	$-x$
0	0	$+x$
0,5	0,5	$+x$
5	5	$+x$

Om een stuksgewijs gedefinieerde functie te evalueren voor een gegeven waarde, moet het correcte subdomein worden gekozen om de correcte subfunctie te selecteren dat in de correcte waarde resulteert.

Voorbeelden

• Een trapfunctie of stuksgewijs constante functie, is een functie die bestaat uit constante subfuncties.
• Een stuksgewijs lineaire functie, is een functie die bestaat uit lineaire subfuncties.
• Een gebroken machtsfunctie, is een functie die bestaat uit machts-subfuncties.
• Een spline is een functie die bestaat uit polynome subfuncties, vaak met de vereiste dat de overgangen tussen de onderdelen "vloeiend" moeten zijn.
  • B-spline
• PDIFF
• $f(x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-x^{2}}}\right),&x\in (-1,1)\\0,&{\text{anders}}\end{cases}}$

en enkele andere veelvoorkomende Bump-functies. Deze zijn oneindig vaak differentieerbaar, maar de analyticiteit geldt slechts stuksgewijs.

Bronnen, noten en/of referenties